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一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.
(1)已知sinα＝4/5，并且α是第二象限的角，那么tgα的值是：( )
(A)－4/3 (B)－3/4 (C)3/4 (D)4/3
(2)焦点在(-1,0),顶点在(1,0)的抛物线方程是：( )
(A)y2＝8(x+1) (B)y2＝-8(x+1)
(C)y2＝8(x-1) (D)y2＝-8(x-1)
(3)函数y=cos4x-sin4x的最小正周期是：( )
(A)π/2 (B)π (C)2π (D)4π
(4)如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有：( )
(A)12对 (B)24对 (C)36对 (D)48对
(5)函数y＝sin[2x＋(5π/2)]的图象的一条对称轴方程是：( )
(A)x＝－π/2 (B)x＝－π/4 (C)x＝π/8 (D)x＝5π/4
(6)如果三棱锥S—ABC的底面是不等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等,且顶点S在底面的射影O在
△ABC内,那么O是△ABC的：( )
(A)垂心 (B)重心 (C)外心 (D)内心
(7)已知{an}是等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于：( )
(A)5 (B)10 (C)15 (D)20
(8)如果圆锥曲线的极坐标方程为ρ＝16/(5－3cosθ)那么它的焦点的极坐标为：( )
(A)(0,0),(6,π) (B)(-3,0),(3,0)
(C)(0,0),(3,0) (D)(0,0),(6,0)
(9)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共
有：( )
(A)140种 (B)84种 (C)70种 (D)35种
(10)如果AC＜0，BC＜0,那么直线Ax＋Bx＋C＝0不通过：( )
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
(11)设甲、乙、丙是三个命题.如果甲是乙的必要条件;丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么
(A)丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件
(B)丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件
(C)丙是甲的充要条件
(D)丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件
(12) 的值等于：( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
(13)如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间[-7,-3]上是：( )
(A)增函数且最小值为－5 (B)增函数且最大值为－5
(C)减函数且最小值为－5 (D)减函数且最大值为－5
(14)圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为 的点共有：( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
(15)设全集为R,f(x)=sinx,g(x)=cosx,M={x│f(x)≠0},N={x│g(x)≠0},那么集合{x│f(x)g(x)=0}等于
(A) (B) (C) (D)
二、填空题:把答案填在题中横线上.
(16)argtg(1/3)＋argtg(1/2)的值是____________。
(17)不等式 的解集是___________。
(18)已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是45°，那么这个正三棱台的体
积等于________。
(19)在(ax+1)7的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项，若实数a>1,那么a=______。
(20)在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝a。那么这个球面的面
积是__________。
三、解答题.
(21)求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值,并写出使函数y取最小值的x的集合。
(22)已知复数z＝1＋i，求复数(z2－3z＋6)/(z＋1)的模和幅角的主值。
(23)已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC＝2.求点B到平
面EFG的距离。
(24)根据函数单调性的定义,证明函数f(x)＝－x3+1在(-∞,+∞)上是减函数。
(25)已知n为自然数,实数a>1,解关于x的不等式
(26)双曲线的中心在坐标原点0，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为 的直线交双曲线于P、Q两点，
若OP⊥OQ，│PQ│＝4，求双曲线的方程。
1991年试题（理工农医类）答案
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.常规卷和A型卷答案
(1)A (2)D (3)B (4)B (5)A
(6)D (7)A (8)D (9)C (10)C
(11)A (12)C (13)B (14)C (15)D
二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.
(16)π/4 (17){x│－2＜x＜1} (18)14/3 (19) (20)3πa2
三、解答题.
(21)本小题考查三角形函数式的恒等变形及三角函数的性质.
解:y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x
=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x
=1+sin2x+(1+cos2x)
=2+sin2x+cos2x
=2+sin(2x+π/4)
当sin(2x+π/4)＝－1时，y取最小值2－
使y取最小值和集为{x│x＝kπ－3π/8 k∈z}
(22)本小题考查复数基本概念和运算能力.
解： 
＝(3－i)/(2＋i)
＝1－i
1－i的模 ＝因为1－i对应的点在第四象限，且幅角的正切tgθ＝－1，所以幅角的主值
θ＝7π/4
(23)本小题考查直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,以及逻辑推理和空间想象能力.
解:如图,连结EG、FG、EF、BD、AC.EF、BD分别交AC于H、O. 因为ABCD是正方形,E、F分别为AB和AD的中
点,故EF∥BD,H为AO的中点.
BD不在平面EFG上.否则,平面EFG和平面ABCD重合,从而点G在平面的ABCD上,与题设矛盾.
由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG,
所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离.
∵BD⊥AC,
∴EF⊥HC.
∵GC⊥平面ABCD,
∴EF⊥GC,
∴EF⊥平面HCG.
∴平面EFG⊥平面HCG,HG是这两个垂直平面的交线.
作OK⊥HG交HG于点K,由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG,所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距.
离。
∴正方形ABCD的边长为4GC＝2
∴AC＝4，HO＝，HC=3
∴在RT△HCG中，HO＝ ＝
由于RT△HKO和RT△HCG有一个锐角是公共的，故△HKO∽△HCG
∴OK＝(HO×CG)/HG＝(×2)/＝(2 )/11
即：点到平面EFG的距离为(2)/11
注:未证明“BD不在平面EFG上”不扣分.
(24)本小题考查函数单调性的概念,不等式的证明,以及逻辑推理能力.
证法一:在(-∞,+∞)上任取x1,x２,且x1２,
则 f(x1)－f(x2)＝x13－x２3
＝（x1－x２)(x1２＋x1x２＋x２２)
∵x1
∴x1-x2<0.
当x1x2<0时，有(x12＋x1x2＋x22)＝（x1＋x2)2－x1x2＞0
当x1x2≥0时，有(x12＋x1x2＋x22)＞0
∴f(x1)－f(x2)＝（x1－x2)(x12＋x1x2＋x22)<0
即：f(x1) < f(x2)
∴函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.
证法二:在(-∞,+∞)上任取x1,x2,且x12,
则 f(x1)－f(x2)＝x13－x23
＝（x1－x2)(x12＋x1x2＋x22)
∵ x12,
∴ x1-x2<0.
∵ x1,x2不同时为零,
∴x12＋x22＞0
又∵x12＋x22＞(x12＋x22)/2≥│x1x2│≥－x1x2
∴x12＋x1x2＋x22＞0
∴f(x1)－f(x2)＝（x1－x2)(x12＋x1x2＋x22)<0
即 f(x2)
∴函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.
(25)本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识,以及分析问题的能力.
解:利用对数换底公式,原不等式左端化为
＝［1－2＋4＋…(－2)n－1logax
＝
故原不等式可化为 ①
当n为奇数时， ，不等式①等价于
logax＞loga(x2－a) ②
因为a>1,②式等价于
  
因为
所以，不等式②的解集为
当n为偶数时，，不等式①等价于
logaxa(x2-a).
因为a>1,②式等价于
因为
所以，不等式②的解集为
综合得：当n为奇数时，原不等式的解集为
当n为偶数时，原不等式的解集为
(26)本小题考查双曲线性质,两点距离公式,两直线垂直条件,代数二次方程等基本知识,以及综合分析能力.
解法一：设双曲线的方程为：x2/a2－y2/b2＝1
依题意知,点P,Q的坐标满足方程组
将②式代入①式,整理得
(5b2-3a2)x2+6a2cx-(3a2c2+5a2b2)=0. ③
设方程③的两根分别为x1和x2，若5b2－3a2＝0，则 ，即直线②与双曲线①的渐近线中的一条
平行，故与双曲线只能有一个交点，与题设矛盾，所以5b2－3a2≠0。
根据根与系数的关系,有
由于P、Q在直线 上，可记为：
由OP⊥OQ得：
整理得3c(x1+x2)-8x1x2-3c2=0. ⑥
将④,⑤式及c2=a2+b2代入⑥式,并整理得
3a4+8a2b2-3b4=0,
(a2+3b2)(3a2-b2)=0.
因为 a2+3b2≠0,解得b2=3a2,
所以 由│PQ│＝4得：
整理得(x1+x2)2-4x1x2-10=0. ⑦
将④,⑤式及b2=3a2,c=2a代入⑦式,解得a2=1.
将a2 =1代入b2=3a2 得 b2=3.
故所求双曲线的方程x2－y2/3＝1
解法二:④式以上同解法一.
解方程式③得 ④
由于P、Q在直线 上，可记为：
由OP⊥OQ得： ⑤
将④式及c2=a2+b2代入⑤式并整理得 3a4+8a2b2-3b4=0,
即 (a2+3b2)(3a2-b2)=0.
因a2+3b2≠0,解得b2=3a2.
由│PQ│＝4得：
即 (x2-x1)2=10. ⑥
将④式代入⑥式并整理得
(5b2-3a2)2-16a2b4=0.
将b2=3a2代入上式,得a2=1,
将a2=1代入b2=3a2得b2=3.
故所求双曲线方程为：x2－y2/3＝1
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